导数考研题(一道考研数学题)

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)中由于f(x)是连续函数，

因此当x→0时有f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1) 有

f(1) =0

由f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x) 两边同时除以sinx

在x→0时有lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=lim 8x/sinx

x→0 x/sinx=1 则

lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=8

lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx-3(f(1-sinx)-f(1))/sinx=8

由于f(1)的导数存在，则f'(1)=-2

f(x)是周期为5的连续函数，则f(1)=f(1+5)=f(6)，则f(6)=0

f'(1)=f'(6)=-2

则在y=f(x)在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+12